makalah aljabar linier

Posted by : Nur'aini Minggu, 29 Oktober 2017

MAKALAH

Aljabar Linier-Vektor dan Matriks

(Tentang Vektor dan Matriks)

DI SUSUN OLEH :

NUR’AINI : 160103069

DOSEN PENGAMPU : Drs, H Idris M.Pd.i

KELAS : IC

JURUSAN TADRIS MATEMATIKA

FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN)

MATARAM

2017

Kata pengantar

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmatNYA sehingga makalah ini dapat tersusun hingga selesai . Tidak lupa kami juga mengucapkan banyak terimakasih atas bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan baik materi maupun pikirannya.

Dan harapan kami semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca, Untuk ke depannya dapat memperbaiki bentuk maupun menambah isi makalah agar menjadi lebih baik lagi. Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman kami, Kami yakin masih banyak kekurangan dalam makalah ini, Oleh karena itu kami sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.

Mataram, 30 oktober 2017

ttd

Penyusun

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Banyak orang yang beranggapan bahwa Matematika itu rumit, karena alasan itulah banyak orang yang menghindari Matematika. Padahal Matematika dapat kita jumpai di dalam kehidupan sehari-hari, dan mau tidak mau kita pasti menggunakan Matematika. Oleh karena itu kami membuat makalah ini dengan maksud membantu pemahaman masyarakat agar mereka tidak menilai Matematika adalah sesuatu yang buruk.

1.2 TUJUAN

Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linear, yang diberikan oleh dosen kami Ibu Sri Weda Mahendra, ST, MM. Dan tujuan berikutnya adalah sebagai sumber informasi yang saya harapkan bermanfaat dan dapat menambah wawasan para pembaca makalah ini.

BAB II

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

2.1 SISTEM PERSAMAAN LINIER

Definisi : Suatu sistem yang memiliki m persamaan dan n variabel.

( Bilangan yang tidak diketahui ).

SPL mempunyai m persamaan dan n variable.

Matris yang diperbesar (augmented matrix)

Contoh :

Solusi ( Pemecahan ) SPL, di bagi menjadi 2, yaitu :

1. Konsisten

· Solusi Tunggal

· Solusi Banyak

2. Tidak Konsisten

Contoh : Solusi Banyak

g₁= 2x - 3y = 6

g₂= 2x – 3y =6

m < n

Contoh : Tidak Konsisten

0 = Konstanta

2.2 MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS

Matriks

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.

Operasi Matriks

1. Penjumlahan :

Definisi : jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang di peroleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat di tambahkan.

A = , B =

A + B = + =

Contoh : A = , B = , C =

A + B =

Sedangkan A + C dan B + C tidak di definisikan.

2. Perkalian dengan konstanta

Definisi : Jka A adalah suatu matriks dan c adalah scalar, maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing=masing entri dari A oleh c.

c =

Contoh : A = , maka 2A =

3. Perkalian, dengan syarat A_{m x n}B_{n x o}= C_m_{x o}

Definisi : Jika A adalah matriks m x r dan B matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang entri- entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris I dan kolom j dari AB, pilihlah baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan.

A = , B =

AB = =

Contoh : A = , B =

AB =

Transpose

Definisi : Jika A adalah sebarang matriks m x n, maka Transpos A dinyatakan oleh A^t dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertmanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juaga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A, dan seterusnya.

A = ® A^t =

Contoh : A = ® A^t =

2.3 ATURAN-ATURAN ILMU HITUNG MATRIKS

Walaupun banyak dari aturan-aturan ilmu hitung bilangan riil berlaku juga untuk matriks, namun terdapat beberapa pengecualian. Salah satu dari pengecualian yang terpenting terjadi dalam perkalian matriks. Untuk bilangan-bilangan rill a dan b, kita selalu mempunyai ab = bayang sering dinamakan hukum komutatif untuk perkalian. Akan tetapi, untuk matriks-matriks, maka AB dan BA tidak perlu sama.

Contoh 20

Tinjaulah matriks-matriks

Dengan mengalikannya maka akan memberikan

Jadi, AB ≠ BA

Teorema 2. Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks adalah sedemikian sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat diperagakan, maka aturan-aturan ilmu hitung matriks berikut akan shahih.

(a) A + B = B + A (Hukum komutatif untuk penambahan)

(b) A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum asosiatif untuk penambahan)

(c) A(BC) = (AB)C (Hukum asosiatif untuk perkalian)

(d) A(B + C) = AB + AC (Hukum distributif)

(e) (B + C)A = BA + CA (Hukum distributif)

(f) A(B - C) = AB – AC

(g) (B - C)A = BA – CA

(h) a(B + C) = aB+ aC

(i) a(B - C) = aB – aC

(j) (a + b)C = aC + bC

(k) (a - b)C = aC – bC

(l) (ab)C = a(bC)

(m) a(BC) = (aB)C = B(aC)

Jadi, (AB)C = A(BC), seperti yang dijamin oleh Teorema 2(c).

Teorema 3. Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks adalah sedemikian rupa sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dikabulkan, maka aturan-aturan ilmu hitung matriks yang berikut akan shahih.

(a) A + 0 = 0 + A = A

(b) A – A = 0

(c) 0 – A = -A

(d) A0 = 0; 0A = 0

Teorema 4. Setiap sistem persamaan linear tidak mempunyai pemecahan, persis satu pemecahan, atau tak terhingga banyaknya pemecahan.

Bukti. Jika AX = B adalah sistem persamaan linear, maka persis satu dari antara berikut akan benar: (a) sistem tersebut tidak mempunyai pemecahan, (b) sistem tersebut mempunyai persis satu pemecahan, atau (c) sistem tersebut mempunyai lebih dari satu pemecahan. Bukti tersebut akan lengkap jika kita dapat memperlihatkan bahwa sistem tersebut mempunyai takhingga banyaknya pemecahan dalam kasus (c).

Definisi. Jika A adalah matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers (inverse) dari A.

Teorema 5. Jika baik B maupun C adalah invers matriks A, maka B = C

Bukti. Karena B adalah invers A, maka BA = I. Dengan mengalikan kedua ruas dari sebelah kanan dengan C maka akan memberikan (BA)C = IC = I. Tetapi (BA)C = B(AC) = BI = B, sehingga B = C.

Contoh :

Tinjaulah matriks 2x2

Jika ad – bc ≠ 0, maka

Teorema 6. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan yang ukurannya sama, maka

(a) AB dapat dibalik

(b) (AB) = B A

Sebuah hasil kali matriks yang dapat dibalik selalu dapat dibalik, dan invers hasil kali tersebut adalah hasil kali invers dalam urutan yang terbalik

Bukti. Jika kita dapat memperlihatkan bahwa (AB)(A B ) = (B A )(AB)=I, maka kita telah secara serempak membuktikan bahwa AB dapat dibalik dan bahwa (AB) = B A . Tetapi (AB)(B A ) = AIA = AA = I. Demikian juga (B A )(AB) = I.

Contoh 27

Tinjaulah matriks-matriks

Dengan menerapkan rumus yang diberikan dalam contoh 25, kita dapatkan

Maka, (AB)^-1 = B^-1A^-1 seperti yang dijamin oleh Teorema 6.

Definisi. Jika A adalah sebuah matriks kuadrat, maka kita mendefinisikan pangkat-pangkat bilangan bulat tak negative A menjadi

A⁰ = 1 Aⁿ = AA….A (n > 0)

Akan tetapi, jika A dapat dibalik, maka kita mendefinisikan pangkat bilangan bulat negative menjadi

A^-1= (A^-1)ⁿ = A^-1A^-1….. A^-1

Factor n

Teorema berikut, yang kita nyatakan tanpa bukti, menunjukkan bahwa

Factor n

Teorema 7. Jika A adalah matriks kuadrat dan r serta s adalah bilangan bulat, maka

A^r A^s = A^r+s (A^r)^s = A^rs

Hukum-hukum yang sudah dikenal dari eksponen adalah shahih.

Teorema selanjutnya menetapkan beberapa sifat tambahan yang berguna dari eksponen matriks tersebut.

Teorema 8. Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, maka:

a) A^-1 dapat dibalik dan (A^-1)^-1 = A

b) Aⁿ dapat dibalik dan (Aⁿ)^-1 = (A^-1)ⁿ untuk n = 0,1,2,…..

c) Untuk setiap skalar k yang taksama dengan nol, maka kA dapat dibalik dan (kA)^-1 = A^-1

Bukti.

a. Karena AA^-1 = A^-1 A = I, maka A^-1 dapat dibalik dan (A^-1)^-1 = A.

b. Jika k adalah sebarang scalar yang taksama dengan nol, maka hasil (l) dan (m) dari Teorema 2 akan memungkinkan kita untuk menuliskan

(kA) =

Demikian juga (kA) = I sehingga kA dapat dibalik dan (kA)^-1 = .

Kita simpulkan bagian ini dengan sebuah Teorema yang menyenaraikan sifat-sifat utama dari operasi transpose.

Teorema 9. Jika ukuran matriks seperti operasi yang diberikan dapat dilakukan, maka

a. (A^t)^t = A

b. (A+B)^t = A^t + B^t

c. (kA)^t = kA^t , dimana k adalah sebarang scalar.

d. (AB)^t = B^t A^t

Transpose sebuah hasil kali matriks sama dengan hasil kali transposnya dalam urutan kebalikannya.

2.4 MATRIKS ELEMENTER DAN METODE UNTUK MENCARI A^-1

Dibawah ini kita daftarkan matriks elementer dan operasi-operasi yang menghasilkannya.

(i) (ii) (iii) (iv)

Kalikan baris pertama dari I₃ dengan I

Ketika baris kedua I₂ dengan -3

Tambahkan tiga kali baris ketiga dari I₃pada baris pertama

Pertukarkan baris kedua dan baris keempat dari I₄

Teorema : Jika matriks elementer E dihasilkan dengan melakukan sebuah operasi baris tertentu pada Im dan jika A adalah matriks m x n, maka hasil kali EA adalah matriks yang dihasilkan bila operasi baris yang sama ini dilakukan pada A.

*Operasi baris pada I yang menghasilkan E*	*Operasi baris pada E yang menghasilkan I*
Kalikanlah baris I dengan c ≠ 0.	Kalikanlah baris I dengan
Pertukarkan baris I dan baris j.	Pertukarkan baris i dan baris j.
Tambahkan c kali baris I ke baris j.	Tambahkan – c kali baris i ke baris j.

Operasi-operasi d ruas kanan dari tabel ini dinamakan operasi invers dari operasi-operasi yang bersesuaian di ruas kiri.

Teorema : Setiap matriks elementer dapat dibalik, dan inversnya adalah juga matriks elementer.

Bukti. Jika E adalah matriks elementer, maka E dihasilkan dari peragaan operasi baris pada I. Misalnya E_o adalah matriks yang dihasilkan bila invers operasi ini diterapkan pada I. Baris invers akan saling meniadakan efek satu sama lain, maka diperoleh

E_oE = I dan EE_o = I

Jadi, matriks elementer E_o adalah invers dari E.

A I = I A^-1

Contoh :

A = A^-1 = . . . ?

Jawab :

Baris ke 2 dikurang 2 kali baris pertama dan baris ke 3 dikurang 4 kali baris pertama untuk mendapatkan nol.

A I =

Baris ke 2 ditukar baris ke3.

Baris ke 3 dikalikan – baris ke 3, untuk mendapatkan 1 utama.

Baris ke 3 dikurangi baris ke 2 untuk mendapatkan nol.

I A^-1

2.5 HASIL SELANJUTNYA MENGENAI SISTEM PERSAMAN DAN KETERBALIKAN

Teorema 13 : Jika A adalah matriks n x n yang dapat dibalik,maka untuk setiap matriks B yang berukuran n x 1, sistem persamaan AX = B mempunyai persis satu pecahan, yakni, X = A^-1 B.

AX = B → X = → I . B = B

A . = B

A . X = B

X = A^-1 . B

X . A = B

X . . . ?

Jawab:

B . I = B

. A = B

X . A = B

X = B . A^-1

BAB III

VEKTOR-VEKTOR DI RUANG - 2 DAN RUANG - 3

3.1 VEKTOR (GEOMETRIK)

Vektor AB atau vektor u

A adalah titik awal (intial point)

B adalah titik terminal (terminal point)

Vektor Ekivalen

u ekivalen v

Apabila arah dan panjangnya sama.

Jadi u = v

Penjumlahan Vektor

v + w = w + v

· Vektor Nol

-u

+ v = v + 0 = v

· Vektor Negatif

-w

v - w

v + (-v) = 0

· Pengurangan Vektor

v – w = v + (-w)

· Komponen vektor di Ruang-2

u = (u₁, u₂)

v = (v₁, v₂)

· Komponen vektor di Ruang-3

u = (u₁, u₂, u₃)

v = (v₁, v₂, v₃)

Ruang-2

Penjumlahan

u + v = (u₁, u₂) + (v₁, v₂)

= (u₁ + v₁, u₂ + v₂)

u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂, u₃ + v₃) Ruang-3

Contoh:

Jika v = (1, -2) dan w = (7, 6) maka v + w = ?

Jawab:

v + w = (1, -2) + (7, 6)

= (1 + 7, -2 + 6)

= (8, 4)

Ruang-2

Pengurangan

u – v = (u₁, v₁) – (u₂, v₂)

= (u₁ – v₁_,u₂ – v₂)

u – v = (u₁ –v₁, u₂ – v₂, u₃ – v₃) Ruang-3

Contoh:

Jika u = (7, 6) dan v = (3, 2), maka u – v = ?

Jawab:

u – v = (7, 6) – (3, 2)

= (7 – 3, 6 – 2)

P (-2, 3, 4)

= (4, 4)

· Gambar titik P (-2, 3, 4)

3.2 NORMA VEKTOR, ILMU HITUNG VEKTOR

Teorema 1. Jika u, v, dan w adalah vector-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan k serta l adalah scalar, maka hubungan berikut akan berlaku.

(a) u + v = v + u

(b) (u + v) + w = u +(v + w)

(d) u + (-u) = 0

(e) K(lu) = (kl)u

(f) K(u + v) = ku +kv

(g) (k+l)u = ku + lu

(h) 1u = u

Panjang sebuah vector v sering dinamakan norma v dan dinyatakan dengan . Jelaslah dari teorema phytagoras bahwa norma vector v = (v_1,v₂) di ruang-2 adalah

Misalkan v = (v₁, v₂, v₃) adalah vector ruang-3. Dengan menggunakan gambar 3.16 dan dua penerapan phytagoras, maka kita dapatkan

P(V₁, V₂, V₃)

Jika dan adalah dua titik di ruang-3, maka jarak d diantara kedua titik tersebut adalah norma vector P₁P₂ , karena

Maka jelas bahwa

3.3 HASIL KALI TITIK, PROYEKSI

Pada bagian ini kita perkenalkan semacam perkalian vektor di ruang-2 dan ruang-3. Sifat-sifat ilmu hitung perkalian ini akan ditentukan dan beberapa penerapannya akan diberikan.

Misalnya u dan v adalah dua vektor taknol di ruang-2 dan ruang-3,dan anggaplah vektor-vektor ini telah dilokasikan sehingga titik awalnya berimpit. Yang kita artikan dengan sudut di antara u dan v, dengan sudut θ yang ditentukan oleh u dan v yang memenuhi 0 ≤ θ ≤ π

Definisi : Jika u dan v adalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan θ adalah sudut di antara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam Euclidis (Euclidean inner product) u • v didefinisikan oleh

Misalkan u = (u₁, u₂, u₃) dan v = (v₁, v₂, v₃) adalah dua vektor taknol. Jika, seperti pada gambar dibawah, θ adalah sudut di antara u dan v, maka hukum cosinus menghasilkan.

P (u₁, u₂, u₃)

Q (v₁, v₂, v₃)

Karena = v – u, maka dapat kita tuliskan kembali sebagai

atau

Dengan mensubstitusikan

dan

Maka setelah menyederhanakannya akan kita dapatkan

Jika u = (u₁, u₂) dan v = (v₁, v₂) adalah dua vektor di ruang-2, maka rumus yang bersesuaian adalah

Jika u dan v adalah vektor taknol, maka rumus di atas dapat kita tulis

Teorema berikut ini memperlihatkan bagaimana hasil kali titik dapat digunakan untuk mendapatkan informasi mengenai sudut diantara dua vektor; teorema ini juga menghasilkan hubungan penting di antara norma dan hasil kali titik.

Teorema 2

Misalkan u dan v adalah vektor di ruang-2 atau ruang-3.

a) v • v = ; yakni, =

b) Jika u dan v adalah vektor-vektor taknol dan θ adalah sudut di antara kedua vektor tersebut, maka

θ lancip jika dan hanya jika u • v > 0

θ tumpul jika dan hanya jika u • v < 0

θ = π/2 jika dan hanya jika u • v = 0

Vektor tegaklurus disebut juga vektor ortogonal. Pada teorema di atas, dua vektor taknol adalah tegaklurus jika dan hanya jika hasil kali titiknya adalah nol.

Jika kita sepakat menganggap u dan v agar tegaklurus maka salah satu atau kedua vektor ini haruslah 0, karenanya kita dapat menyatakan tanpa kecuali bahwa baik vektor u maupun v akan ortogonal jika dan hanya jika u • v = 0.

Teorema 3

Jika u, v dan w adalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan k adalah skalar, maka

a) u • v = v • u

b) u • (v + w) = u • v + u • w

c) k(u • v) = (ku) • v = u • (kv)

d) v • v > 0 jika v ≠ 0 dan v • v = 0 jika v = 0

Jika u dan a ditempatkan sedemikian rupa maka titik awalnya akan menempati titik Q, kita dapat menguraikan vektor u sebagai berikut.

w₁

w₂

w₁

w₂

w₁

Turunkanlah garis tegaklurus dari atas u ke garis yang melalui a, dan bentuklah vektor w₁ dari Q ke alas garis yang tegaklurus tersebut. Bentuk selanjutnya akan menjadi

w₂ = u – w₁

Sebagaimana ditunjukkan pada gambar di atas, vektor w₁ sejajar dengan a, vektor w₂ tegaklurus dengan a, dan w₁ + w₂ = w₁ + (u – w₁) = u

Vektor w₁ tersebut kita namakan proyeksi ortogonal u pada a atau kadang-kadang kita namakan komponen vektor u sepanjang a. Hal ini kita nyatakan dengan

proy_au

Vektor w₂ kita namakan komponen vektor u yang ortogonal terhadap a. Karena w₂ = u – w₁ maka vektor ini dapat kita tulis sebagai

w₂ = u – proy_au

Teorema 4

Jika u dan a adalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan jika a ≠ 0, maka

(komponen vektor u sepanjang a)

(komponen vektor u yang ortogonal terhadap a)

Bukti :

Misalkan w₁ = proy_au dan w₂ = u – proy_au. Karena w₁ sejajar dengan a, maka kita harus mengalikan skalar a, sehingga kita dapat menuliskan dalam bentuk w₁ = ka. Jadi

u = w₁ + w₂ = ka + w₂

Dengan mengambil hasil kali titik dari kedua sisi dengan a maupun dengan menggunakan teorema 2 dan 3 akan menghasilkan

Namun karena w₂ tegaklurus kepada a, sehingga persamaan di atas menjadi

Karena proy_au = w₁ = ka, kita dapatkan

Sebuah rumus untuk panjang komponen vektor u sepanjang a dapat kita peroleh dengan menuliskan

= (karena adalah sebuah skalar)

= (karena > 0)

menghasilkan

BAB IV

PENUTUP

4.1 KESIMPULAN

Alangkah baiknya kita mengenal Matematika dulu sebelum kita menganggap Matematika itu sulit, karena bila kita telah mengenal Matematika dengan baik dan menikmati bagaimana Matematika itu bekerja akan terasa bahwa Matematika itu tidaklah seburuk apa yang kita pikirkan.